Principal G-bundles on nodal curves

Resumen

En esta tesis abordamos la construcción de un espacio de moduli compacto para G-fibrados principales sobre una curva nodal X. El proceso de construcción de estos espacios de moduli se basa en el trabajo de Alexander Schmitt. En el Capítulo 1, proporcionamos las bases de la teoría geométrica de invariantes (GIT), haces coherentes sobre curvas proyectivas reducidas y G-fibrados principales. Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la función de semiestabilidad de Hilbert-Mumford, que serán importantes en el Capítulo 3. También presentamos un análisis GIT de sumas directas de representaciones, que conduce a la Proposición 1.1.28, la cual será crucial en el Capítulo 3. El Capítulo 2 está dedicado a la construcción de 〖SPB(ρ)〗^(δ-(s)s). En la Sección 1, construimos el espacio de moduli de campos tensores δ-semiestables sobre X, denotado como T^(δ-(s)s), según [8, 17] (Teorema 2.1.44). Dado que la curva X no es irreducible, necesitamos sustituir el grado por la multiplicidad en la definición de δ-semiestabilidad (ver Definición 2.1.9). En la Sección 2, construimos el espacio de moduli de G-fibrados principales singular δ-semiestables, 〖SPB(ρ)〗^(δ-(s)s) (Teorema 2.2.18). Primero, mostramos cómo asociar un campo tensorial a cada G-fibrado principal singular, lo cual requiere linealizar el problema (Teorema 2.2.6). Esto se logra utilizando un resultado sobre álgebras graduadas (Lema 2.2.5). Luego, debemos demostrar que esta asignación es inyectiva (Teorema 2.2.12), utilizando el Lema 1.2.28. De esta manera, construimos el espacio de moduli como un subesquema cerrado del espacio de moduli de campos tensoriales En el Capítulo 3, nos ocupamos de ciertos objetos en la normalización de la curva X. En la Sección 1, construimos el espacio de moduli de campos tensoriales con estructuras parabólicas generalizadas sobre una curva proyectiva lisa (posiblemente disconexa) Y. La condición de semiestabilidad ahora depende de ν + 1 parámetros racionales, κ1, ..., κν, δ, debido a la presencia de la estructura adicional dada por la estructura parabólica. El espacio de moduli de G-fibrados principales singualares δ-semiestables con estructuras parabólicas generalizadas en Y se construye como un subesquema cerrado del espacio de moduli de campos tensoriales con estructura parabólica generalizada, al igual que en el caso nodal. Finalmente, estudiamos los conceptos de estabilidad para valores grandes de los parámetros de semiestabilidad. La existencia de varios puntos mínimos en la curva Y hace imposible aplicar los resultados de [52]. Aquí, el resultado técnico que nos permite resolver el problema es la Proposición 1.1.28. En el Capítulo 4, describimos explícitamente un procedimiento para representar un G-fibrado principal singular en X dado mediante un G-fibrado principal singular descendente en Y, y comparamos el concepto de semiestabilidad de ambos objetos para valores grandes de los parámetros de semiestabilidad. Con esto en mano, podemos presentar los resultados finales, el Teorema 4.4.8 y el Teorema 4.4.18.