Medidas de información, incertidumbre y entrelazamiento en Mecánica Cuántica

Resumen

En esta tesis se consideran problemas matemáticos relacionados con dos de los fenómenos más característicos y significativos de la Mecánica Cuántica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matemáticas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matemáticamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuánticos y por otro lado proporcionan una herramienta útil para la caracterización del escurridizo fenómeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecánica Cuántica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoría de la Información Cuántica. En esta memoria los dos primeros capítulos se han escrito a modo de introducción y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capítulo presentamos cómo se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matemático medidas de la incertidumbre y mostramos cómo la entropía de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, después de introducir los postulados y la estructura matemática básica de la Mecánica Cuántica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, así como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entrópicas la formulación más rigurosa del principio. En este capítulo se analizará también el fenómeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterización sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentarán los criterios previos más relevantes para su identificación y se mostrará que las relaciones de incertidumbre juegan un papel útil en esta tarea. Por último, se dará una brevísima introducción a la teoría de las medidas de entrelazamiento y su conexión con las medidas de incertidumbre. En el capítulo 3 se abordará el problema del cálculo de entropías de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresión de la incertidumbre en sistemas atómicos y moleculares; se utilizarán principalmente técnicas analíticas, en particular de la teoría de funciones especiales. El capítulo 4 se relaciona con la derivación de desigualdades óptimas para la formulación de relaciones de incertidumbre entrópicas, apoyándonos sobre todo en técnicas de optimización. A continuación nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos álgebra lineal y análisis matricial. En el capítulo 5 se estudiará este problema utilizando una formulación particular del principio de incertidumbre. En el capítulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a través de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a través de medidas de la correlación. Por último, en el capítulo 7 estudiaremos cómo utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener información no sólo cualitativa sino también cuantitativa acerca del entrelazamiento.