Estudio de algunos aspectos geométricos de los espacios métricos geodésicos y sus consecuencias en la teoría métrica del punto fijo

Resumen

El primer capítulo de este trabajo es de carácter preliminar y en él se reúnen fundamentalmente los conceptos más elementales y, en su mayoría, no originales que hemos estimado necesarios para una adecuada lectura y comprensión de toda la Memoria ... . También se incluyen algunos resultados no originales relativos a los conceptos que se describen. En algunos casos, con la intención de hacer una exposición más lógica y cómoda, se ha pospuesto la introducción de alguno de los conceptos y resultados previos. En estas ocasiones, la naturaleza de los mismos está estrechamente ligada con el contenido del capítulo o sección concreta en el que se incluyen.Hemos dividido este capítulo en cuatro secciones. La primera de ellas se dedica a describir el contexto general en el que vamos a trabajar a lo largo de toda la Memoria, es decir, en ella se determina de forma concreta el concepto de espacio métrico que consideramos. También se establece cierta notación relativa a estos espacios y, por último, con vistas a manejar el concepto de aplicación multivaluada, se recuerda el concepto de métrica de Hausdorff entre conjuntos. La segunda sección comienza con una breve justificación de la relevancia de los espacios métricos geodésicos dentro de la Teoría Métrica del Punto Fijo. Esta sección está dedicada fundamentalmente a introducir los espacios métricos geodésicos y algunos conceptos geométricos en estos espacios. Uno de los más relevantes es el de ángulo de Alexandrov entre dos geodésicas que parten de un mismo punto. La principal herramienta que se introduce para dar esta definición es la de triangulo de comparación. Esta noción supondrá el primer acercamiento en la Memoria a las técnicas de comparación que se utilizan al trabajar con los espacios de curvatura acotada. Por último se introducen dos de las nociones más relevantes del trabajo. Primero se ofrece la definición de convexidad uniforme en espacios geodésicos con la que vamos a trabajar y después se establece, esta vez sí de forma original, una propiedad relativa a intersecciones de conjuntos en estos espacios que denominamos propiedad de la intersección no vacía. En la tercera sección se definen dos conceptos de convergencia en espacios métricos, la ¿-convergencia y, a través de la Ø-convergencia definida por Sosov, la Ø p-convergencia. El nombre que damos a esta sección de convergencias débiles en espacios métricos" hace referencia, entre otras cosas, a que en general estas convergencias jugarán un papel análogo en espacios métricos al que tiene la convergencia débil clásica en espacios de Banach. Finaliza este capítulo con una sección dedicada a presentar los espacios CAT(k) y los métricos de curvatura acotada superiormente por un valor real k. Además de proporcionar una detallada descripción de los mismos, se ofrecen algunas propiedades geométricas de dichos espacios, entre las que destacamos la desigualdad CN de los espacios CAT(0) o las propiedades geométricas que heredan los espacios CAT(k) de los espacios modelos a través de los cuales se definen. El segundo capítulo está dedicado al estudio de algunas propiedades geométricas de los espacios CAT(k). Como se pone de manifiesto en los siguientes capítulos, estas propiedades tienen en su mayoría importantes consecuencias dentro de la Teoría Métrica del Punto Fijo. Este capítulo se ha divido en cuatro secciones. En las dos primeras secciones se trabaja en el contexto de los espacios CAT(1) y, a consecuencia de la definición de estos espacios, también en el de los espacios CAT(k) cuando k > 0.En la primera sección se estudian principalmente la convexidad uniforme de los espacios CAT(1), haciéndose referencia también a su estructura normal, y las características de la proyección métrica de un punto sobre un subconjunto cerrado y convexo de esos espacios. A partir de este momento se utilizan en la Memoria condiciones naturales de acotación sobre el diámetro o el radio de estos espacios. A lo largo de esta sección, aunque ya han sido estudiadas a priori, se comentan brevemente las características de estas mismas propiedades en los espacios CAT(0). En la segunda sección se estudian la propiedad Kadec-Klee uniforme y la propiedad (P) de Lim y Xu en los espacios CAT(1). Como ambas propiedades están muy relacionadas con el concepto de centro asintótico, se obtienen algunas propiedades del mismo en espacios CAT(1). La tercera sección prueba que no todos los espacios CAT(0) verifican la condición (Q4) introducida en [44]. Para ello, se consideran los espacios métricos construidos a través de pegamientos". Por otro lado, se introduce una nueva propiedad geométrica en los espacios CAT(0), denominada propiedad (N). Una vez que se demuestra que esta propiedad es más débil que la condición (Q4) en este contexto métrico, se mejora un resultado de [44] sobre convergencia de puntos medios de sucesiones de segmentos geodésicas. Por _ultimo, cerramos el capítulo ofreciendo una estimación de la característica de Lifsic de los espacios CAT(k) a través del valor concreto que tiene la característica Lifsic en los espacios modelo M2 k . Esta estimación resuelve positivamente la conjetura que enuncian S. Dhompongsa, W. A. Kirk, y B. Sims en [17].Los tres últimos capítulos de esta Memoria recogen resultados de punto _jo para diferentes tipos de aplicaciones.El tercer capítulo reúne resultados de punto fijo para aplicaciones, en su mayoría, de naturaleza no expansiva en espacios métricos geodésicas. Este capítulo se divide en dos secciones. La primera de ellas estudia teoremas de punto fijo para aplicaciones univaluadas en espacios CAT(k). Hemos dividido a su vez esta sección en tres subsecciones, cada una de las cuales se dedica a un tipo particular y diferente de aplicación. El resultado fundamental de la primera subsección es el Teorema de Kirk en espacios CAT(1) con radio menor que ¿/2 que proporciona en este contexto existencia de punto fijo para aplicaciones no expansivas (como consecuencia se obtiene también este resultado para cualquier CAT(k) con k > 0). Las siguientes aplicaciones que consideramos son las aplicaciones de tipo convexo. Esta familia de aplicaciones contiene a las aplicaciones no expansivas y el resultado fundamental que se prueba para las mismas es un Principio de Demiclosedness en espacios CAT(1) (también CAT(k) con k > 0). Por _ultimo, cerramos esta sección ofreciendo dos resultados de punto fijo para aplicaciones convexos. En concreto, trabajaremos sobre aquellos espacios que admiten un módulo de convexidad monótono o semicontinuo inferiormente por la derecha. El principal objetivo es probar existencia de punto fijo para aplicaciones multivaluadas no expansivas con valores compactos y no vacíos. Este problema fue previamente estudiado en espacios geodésicos [64] imponiendo una condición de convexidad sobre la métrica que nosotros no asumimos y de la que carecen por ejemplo los espacios CAT(1). Veremos cómo prescindiendo de esta condición el problema se complica notablemente. Al final del capítulo, hemos incluido un apéndice en el que ofrecemos una prueba alternativa del Teorema de Kirk de punto fijo en espacios CAT(1) basada esencialmente en técnicas de estructura normal.El cuarto capítulo de la Memoria recoge principalmente resultados de existencia de puntos fijos y de convergencia de las iteradas para aplicaciones no expansivas asintóticas puntuales en el marco de los espacios métricos uniformemente convexos que admiten módulos de convexidad como en el capítulo anterior. Este capítulo se divide en dos secciones. En la primera de ellas se introducen los conceptos previos necesarios para trabajar en esta nueva rama de la teoría y se ofrece una breve introducción histórica de la Teoría Métrica del Punto Fijo para aplicaciones asintóticas. La segunda sección ofrece resultados de punto fijo para distintas aplicaciones asintóticas. Destacamos los que se dan para aplicaciones no expansivas asintóticas puntuales.Para finalizar, en el quinto capítulo, se introducen las propiedades geométricas WUC y HW para establecer teoremas de punto fijo en espacios geodésicos para contracciones cíclicas. Al hablar de teoremas de punto fijo para las aplicaciones cíclicas nos referimos a teoremas de existencia, unicidad y convergencia a puntos de mejor aproximación, que son puntos que juegan un papel análogo al de los puntos fijos en situaciones en las que las aplicaciones cíclicas están definidas sobre la unión de un par de conjuntos que tienen intersección vacía. Este capítulo consta de tres secciones. En la primera de ellas, paralelamente a la descripción de los nuevos conceptos que se manejan en esta rama de la uniformemente lipschitzianas en el contexto de los espacios CAT(k). En la segunda sección de este capítulo presentamos varios teoremas de punto fijo para aplicaciones multivaluadas no expansivas en espacios métricos uniformemente Teoría del Punto Fijo, se incluye un breve historial sobre los resultados de punto fijo para las aplicaciones cíclicas. La segunda sección incluye dos subsecciones. En la primera de ellas se describen las propiedades WUC y HW para pares de subconjuntos de un espacio métrico y se establece la relación de ambas propiedades con la propiedad UC definida recientemente en la literatura [67]. Para terminar la segunda sección, se ofrecen resultados de punto _jo para contracciones cíclicas en espacios métricos. Cuando utilicemos la propiedad HW en estos resultados, trabajaremos en el contexto más concreto de los espacios geodésicos estrictamente convexos que tienen la propiedad de la intersección no vacía. En la tercera y última sección estudiamos los mismos problemas de la sección anterior en el contexto más concreto de los espacios de Banach. Como consecuencia se obtienen diversas mejoras de resultados ya existentes en la teoría. Entre ellas destacamos la respuesta parcial y afirmativa que damos a la pregunta que proponen A. Anthony Eldred y P. Veeramani en [19] sobre existencia de punto de mejor aproximación para contracciones cíclicas en espacios reflexivos. En este capítulo hemos incluido dos apéndices. En el primero de ellos se utiliza un enfoque diferente para probar el problema ya resuelto en la sección anterior sobre existencia y unicidad de punto de mejor aproximación para contracciones cíclicas en espacios de Banach reflexivos y estrictamente convexos. Este original enfoque es el utilizado por R. Española en [20] para resolver problemas de existencia y unicidad de puntos de mejor aproximación para aplicaciones relativamente no expansivas en el marco de los espacios de Banach y se caracteriza por tratar las aplicaciones relativamente no expansivas (en nuestro caso contracciones cíclicas) como si fueran de algún modo aplicaciones no expansivas (contracciones). El segundo apéndice aborda algunos de los problemas estudiados en la tercera sección de este capítulo sobre espacios de Banach en el contexto de los espacios CAT(0). Principalmente se muestra una posible extensión de algunos resultados a través del uso de la ¿-convergencia definida para espacios métricos.