Sistemas singulares. Invariantes y formas canónicas

Resumen

Los objectos tratados en esta tesis son sistemas din¿amicos lineales singu- lares invariantes en el tiempo E x = Ax + Bu; y = Cx, que representamos mediante cuaternas de matrices (E;A;B;C) 2 Mn(C)£Mn(C)£Mn£m(C)£ Mp£n(C), El estudio se centra en la relaci¿on de equivalencia, que llamamos seme- janza por realimentaci¿on proporcional y derivada y inyecci¿on externa pro- porcional y derivada, que es la que admite cambios de base en los espacios de estados, de entradas y de salidas, realimentaci¿on de estados tanto propor- cional como derivada, inyecci¿on externa tambi¿en proporcional y derivada y adem¿as, pre-multiplicaci¿on de la ecuaci¿on de estados por una matriz invert- ible. Esta relaci¿on se puede considerar como la generalizaci¿on natural de la semejanza para matrices cuadradas y la semejanza por bloques de la cual se obtiene la forma reducida de Kronecker. En todos los estudios realiza- dos hasta ahora, la realimentaci¿on derivada as¿ como la inyecci¿on externa derivada, no estaban incluidos en la relaci¿on, pero si se tiene en cuenta que los conceptos de controlabilidad y observabilidad de un sistema tan impor- tantes en teoría de control, llevan implícito la condici¿on necesaria de que las matrices E y A del sistema son invertibles o se pueden transformar en matrices inertibles mediante realmentaciones proporcionales y/o derivadas e inyecciones externas porporcionales y/o derivadas, nos inducen a introducir estas acciones en la relaci¿on de equivalencia. Observemos que en el caso de sistemas est¿andar las realimentaciones proporcinales y las inyecciones exter- nas han estat incluidas en la relaci¿on de equivalencia por muchos autores desde hace tiempo. Para esta relaci¿on de equivalencia, el encontrar una forma reducida can¿onica es un problema abierto, de la cual en esta tesis se da soluci¿on para el de sistemas regularizables, es decir para aquellos que o bien son regulares o bien mediante realimentaci¿on tanto proporcional como derivada e inyecci¿on externa tambi¿en tanto proporcional como derivada, el sistema se transforma en uno regular. Recordemos que los sistemas regulares son aquellos para los cuales se garantiza la existencia de soluci¿on ¿unica para cualquier condici¿on inicial consistente. Para esta relaci¿on de equivalencia sobre el conjunto abierto y denso, de los sistemas regularizables, tambi¿en se halla un conjunto completo de invariantes que permite decidir, dada una cuaterna cualquiera, a que clase de equivalen- cia pertenece. Se aborda tambi¿en el c¿alculo de deformaciones versales por la relaci¿on de equivalencia siguiendo las t¿ecnicas geom¿etricas introducidas por V. I. Arnold en el caso particular de la variedad diferenciable de las matrices cuadradas en las que act¿ua el grupo lineal. Una aplicaci¿on de la descripci¿on de de- formaciones miniversales explícitas es el estudio de perturbaciones locales y la obtenci¿on de la dimensi¿on de las distintas ¿orbitas. Se realiza tambi¿en el an¿alisis de la estabilidad estructural caracterizando las cuaternas estructural- mente estables.