Nonautonomous dynamical systems: From theory to applications

Résumé

La primera parte de la tesis estudia aspectos relativos a la noción de caos en sistemas dinámicos no autónomos. El caos es un concepto matemático útil para explicar los procesos de mezcla en fluidos geofísicos, al igual que los procesos de transporte en este ámbito. La demostración formal de la presencia de caos en este contexto se realiza mediante mapas no autónomos; es decir, mediante sucesiones de funciones. En esta parte el objetivo principal consiste en extender las condiciones de Conley-Moser al ámbito de los mapas no autónomos. Dichas condiciones conforman un conjunto de tres proposiciones que de cumplirse garantizan la existencia de un conjunto invariante caótico, donde el caos se concibe como una ``dependencia sensible de las condiciones iniciales''. Estas condiciones son verificadas en el mapa de Hénon no autónomo, que constituye una sucesión de funciones muy representativa. Este ejemplo nos proporciona una construcción geométrica de un conjunto invariante caótico en el plano; y además se trata de uno de los pocos ejemplos de sistemas aperiódicos de la literatura para los que formalmente se ha demostrado la existencia de caos. Continuando con el estudio de los sistemas dinámicos no autónomos, la tesis se centra en la dinámica generada por las ecuaciones diferenciales estocásticas, con una dependencia temporal aleatoria. Este análisis se realiza mediante la extensión del método de los descriptores lagrangianos al marco estocástico. Esta técnica ha sido aplicada a sistemas dinámicos deterministas con el fin de revelar estructuras destacadas del espacio de fases. En su aplicación a varios modelos estocásticos, los descriptores lagrangianos muestran una gran concordancia entre las estructuras lagrangianas y las trayectorias seguidas por las partículas advectadas por dichos modelos. Por otra parte se proporciona una discusión acerca de cómo extender la noción de órbita estacionaria hiperbólica al contexto estocástico y sus similitudes con el concepto de punto hiperbólico en un sistema autónomo. La parte final de la tesis versa sobre cómo aplicar ideas elaboradas en el campo de los sistemas dinámicos no autónomos y aperiódicos a un contexto de análisis del transporte en el océano Ártico. A tal efecto se vuelve a utilizar la metodología de los descriptores lagrangianos, esta vez aplicados a campos de velocidad proporcionados como conjuntos de datos por el Copernicus Marine Environment Monitoring Service. El interés se centra en el análisis de la haloclina (a 30 metros de profundidad) emplazada en la región ártica, en el período comprendido entre marzo de 2013 y marzo de 2015. El método de los descriptores lagrangianos muestra estructuras dinámicas persistentes a largo plazo que se relacionan con las variedades invariantes, un objeto geométrico que caracteriza los procesos de transporte y mezcla de fluidos. Estas estructuras juegan un papel crucial en la distribución de las masas de agua no salada y en la evolución de los contaminantes potencialmente vertidos en la región ártica. En concreto, tales estructuras son detectadas en el mar de Beaufort y median en los procesos de transporte induciendo una circulación en sentido horario, a su vez relacionada con el giro de Beaufort. Los descriptores lagrangianos también identifican la corriente denominada Transpolar Drift como una barrera al transporte que sustenta un gradiente de salinidad entre la cuenca oceánica ártica de Canadá y las aguas del Atlántico.