Teoría del punto fijo para aplicaciones no expansivas generalizadas y resultados tipo Krasnosel'skii

Resumen

La Teoría métrica del Punto Fijo en espacios de Banach estudia las condiciones para que una aplicación definida en un cierto espacio cuente con puntos fijos, siendo tales condiciones de carácter métrico. Dentro de esta teoría tiene especial relevancia el estudio de la existencia de puntos fijos de aplicaciones no expansivas, esto es, aplicaciones 1-lipschitzianas. Se introduce en la presente memoria una clase de aplicaciones más generales que las aplicaciones no expansivas, y que otras clases conocidas, tanto clásicas como de reciente definición, a las que llamamos aplicaciones con la condición (L). En su estudio se prueba que cumplen algunos de los principales resultados conocidos para las aplicaciones no expansivas. En un segundo capítulo se estudia la relación de la reflexividad de un espacio de Banach con la existencia de puntos fijos para autoaplicaciones con la condición (L) en dominios adecuados. Se continúa de esta manera el trabajo realizado por P.K. Lin en 2007 en el que se muestra un espacio no reflexivo con la propiedad del punto fijo para aplicaciones no expansivas, el cual responde a la cuestión por largo tiempo abierta de la equivalencia entre la propiedad del punto fijo y la reflexividad de un espacio de Banach. El tercer capítulo se dedica a la definición y estudio de la generalización de la condición (L) al caso de aplicaciones multivaluadas. Se prueban resultados de punto fijo para dos tipos de generalizaciones de la condición (L) y se da un estudio comparativo entre las clases de aplicaciones relacionadas con las de tipo (L). En el último capítulo se estudian problemas de punto fijo para suma de dos operadores, los cuales satisfacen condiciones de distinto tipo, incluyendo entre estas la condición (L). Se dan teoremas de punto fijo, destacando una generalización del Teorema de Krasnosel¿skii. Se muestra especial énfasis en presentar una cantidad suficiente de ejemplos para ilustrar la separación entre los tipos de condiciones estudiadas, confirmar la mayor generalidad de los resultados e ilustrar el comportamiento de las aplicaciones.