Una expansión implicativa de la matriz tetravaluada de belnapuna lógica modal tetravaluada carente de las paradojas modales fuertes tipo łukasiewicz

Resumen

Hacia el final de su vida el gran lógico polaco J. Łukasiewicz desarrollaría el sistema modal tetravaluado conocido como Ł. Este sistema verificaba tesis como (MA∧MB)→M(A∧B) ó L(A∨B)→(LA∨LB), enclavadas dentro de las paradojas modales fuertes tipo Łukasiewicz. El sistema fue ampliamente criticado por la verificación de dichas tesis. Por otra parte, en [Brady, 1982], R. T. Brady presenta la lógica relevante BN4, una versión tetravaluada del clásico sistema del condicional relevante R. Con ambos antecedentes, el objetivo de la presente investigación pasa por desarrollar un sistema que actúe como compañero de BN4 tal y como E lo es con respecto a R y que carezca de las paradojas que asolan el sistema de Łukasiewicz. Para ello, en primer lugar, definiremos la matriz M4, que servirá como base para los sistemas que posteriormente desarrollaremos. Una vez definida la matriz daremos dos semánticas distintas: la semántica tetravaluada intrínseca a la matriz y una semántica bivalente tipo Belnap-Dunn, demostrando que las dos semánticas son equivalentes. Posteriormente definiremos un sistema basado en FDE al que llamaremos FDF4. Daremos para este sistema pruebas de corrección, completud y probaremos que surge de la matriz M4. Adicionalmente definiremos un sistema con E como base al que denominaremos EF4, para el que también daremos pruebas de corrección, completud y además probaremos que se trata de una axiomatización de la matriz M4, todo ello apoyándonos en el hecho de tratarse de un sistema equivalente a FDF4. Con respecto a EF4 desarrollaremos dos modalidades distintas: Una a través de las extensiones interdefinicionales de Łukasiewicz que, en este caso, resulta equivalente a la modalidad inherente a E, y otra basada en la propuesta de J. Y. Beziau que entronca con la propuesta de J. M. Font y M. Rius, a su vez ligada a la tradición de los algebristas portugueses encabezados por A. Monteiro. De esta manera definiremos dos sistemas modales diferentes, EF4-M y EF4-Ł. Para el primero daremos una única axiomatización, como es habitual, mientras que para el segundo daremos cuatro axiomatizaciones distintas. Para cada uno de ellos, EF4-M y EF4-Ł, desarrollaremos tanto una prueba de corrección como de completud. En último término, desarrollaremos tanto una semántica relacional ternaria de modelos reducidos, como una semántica relacional ternaria basada en 2 set-up para EF4, ofreciendo, de nuevo, pruebas de corrección y completud con respecto a ambas. Para concluir, probaremos que FDF4 es también correcto y completo con respecto a las semánticas relacionales que hemos definido y probaremos que la semántica de 2 set-up es un caso particular de la semántica de modelos reducidos.