Teoremas de Ritt y computación de cuerpos unirracionales

Résumé

En este trabajo se estudian varios aspectos teóricos y computacionales relacionados con el problema de búsqueda de cuerpos unirracionales que contengan a un cuerpo dado, y con el problema equivalente de descomposición de funciones racionales multivariadas. Hemos investigado la posible generalización de los clásicos teoremas de Ritt, que establecen buenas propiedades estructurales para descomposición de polinomios univariados, a los casos de polinomios no dóciles yde funciones racionales. Hemos encontrado contraejemplos esencialmente distintos de los conocidos, introducido conceptos para el estudio de propiedades de descomposiciones en estos casos, y establecido algunos resultados de interés teórico y aplicado. También hemos desarrollado un algoritmo de descomposición de funciones racionales univariadas que es el más eficiente conocido en la práctica. En cuanto al problema del cálculo de cuerpos unirracionales, presentamos un algoritmo que resuelve el problema tanto en característica cero como en el caso en que la extensión es separable, y que en muchos casos se puede aplicar al problema, mucho más general, de buscar cuerpos en álgebras finitamente generadas. Este algoritmo resulta de la combinación de diversas técnicas de Álgebra Computacional. También introducimos, motivamos y analizamos varias definiciones de descomposición multivariada. Finalmente destacamos una aplicación de nuestra técnica de descomposición univariada a un campo de estudio radicalmente distinto: el llamado Monstruos Moonshine, que relaciona el mayor grupo simple esporádico con ciertas funciones complejas que surgen de grupos de automorfismos del plano hiperbólico. De esta manera construimos un grafo refinado de relaciones entre estas funciones.