Contribución al estudio crítico de la inferencia borrosa y de sus aplicaciones

Resumen

El trabajo descrito en esta memoria se enmarca en el campo general de la lógica borrosa. En nuestro caso se concreta en el de las relaciones (similitudes y diferencias) entre la estructura y propiedades de las teorías de conjuntos borrosos y las álgebras reticulares. Con este objetivo, se aborda en primer lugar (Cap. 1) una descripción de principios, propiedades y funciones de los conjuntos ordenados en general, retículos -el [0,1] en particular-. Además (Cap. 2) se exponen las bases conceptuales de los conjuntos borrosos y las teorías de conjuntos borrosos, también de cara al uso que se hace de ellos en el texto. La inclusión de los temas de ambos capítulos, pretende fijar el marco de trabajo en que se asienta el resto. A continuación (Cap. 3) se estudia la interrelación conceptual entre determinadas leyes reticulares, con als leyes y propiedades de teorías de conjuntos borrosos estándar, Pexider, funcionales y no funcionales. Este método permite descubrir nuevas propiedades en diferentes estructuras y deja abiertos campos por explorar, como la idea de booleanidad (gradual) de las teorías borrosas. En la misma línea metodológica, el siguiente capítulo estudia tipos de razonamiento basados en el condicional, tales como el Modus Ponens, Modus Tollens, Dilema constructivo, etc. en retículos y teorías de conjuntos borrosos. El estudio muestra algunas leyes que tienen un comportamiento restrictivo y fuerzan álgebras de Boole. En el caso de las teorías borrosas, donde el razonamiento condicional ha sido ampliamente usado, se introduce una nueva familia de implicaciones borrosas basada en un condicional ortomodular, la flecha de Dishkant. Por último, el capítulo 5 trata sobre otro modo de razonamiento, el disyuntivo, tema que está mucho menos tratado en la literatura. Este modo lleva de forma natural al estudio de la disyunción, que abordamos desde la perspectiva de la disyunción inclusiva y la exclusiva -diferencia simétrica-. Tanto en estructuras algebraicas como teorías de conjuntos borrosos se profundiza en el estudio de la diferencia simétrica. Sobre este operador se hace especial énfasis ya que tiene gran importancia en los modelos lingüísticos de la disyunción y es un operador muy poco estudiado. La memoria se completa con un breve recorrido por los hallazgos originales más destacables, algunas reflexiones y un repertorio de problemas abiertos. This work belongs to the general _eld of Fuzzy Logic. In our case it is focused on the relations (similarities and di_erences) between the structure and properties of Fuzzy Set Theories and Lattices. With this aim in mind, a description of principles, properties and functions of ordered sets, lattices -[0; 1] in particular- is broached in the _rst chapter. In the second chapter the conceptual basis of fuzzy sets and fuzzy sets theories are settled in order to be used later on. Next, in the third chapter the conceptual interrelation between some lattice laws and standard fuzzy sets theories laws or properties are studied, furthermore their interrelation with Pexider fuzzy sets theories and functional or nonfunctional theories are also studied. This way of working allow us to discover new properties in many di_erent structures, and opens up the study of the degree of \booleanity" of fuzzy set theories. Following up this way of working, the fourth chapter studies the classical ways of conditional reasoning, such as Modus Ponens, Modus Tollens, Constructive Dilemma... in lattices and Fuzzy Theories. This study shows that some laws have a restrictive behavior and force a speci_c boolean structures. The conditional reasoning is well known and many families of fuzzy implications are available. A new family of fuzzy implications, based on a classical orthomodular model, the Dishkant arrow, is introduced. Finally, in the _fth chapter we deal with a di_erent way of reasoning, the disjunctive mode, which has received less attention. This mode of reasoning requires the previous study of the disjunction, in its both facets, the inclusive and the exclusive disjunction (or symmetric di_erence). Then we have studied in depth the symmetric di_erence in algebraic structures and in fuzzy sets theories. This operator has a great relevance due to their use as a model of the linguistic disjunctions and has been infrequently studied. The work ends with a short review of the main contributions, some reections and some open problems.