Estudio geométrico de familias diferenciables de sistemas singulares

Abstract

Els sistemes dinàmics lineals invariants en el temps de dimensió finita són els objectes sotmesos a estudi en la memòria, En concret, s'estudia la seva estabilitat estructural i l'efecte de pertorbacions. A tal efecte, en primer lloc es considera, en l'espai de quaternes de matrius que defineixen tals sistemes, la relació d'equivalència que admet canvis de bases, realimentacions d'estat i derivativa i injecció de sortides, i que es pot considerar com la generalització natural de les relacions de semblança en el cas de les matrius quadrades, o de semblança per blocs per a parelles de matrius. El fet de que un sistema es pugui normalitzar mitjançant una realimentació derivativa donant lloc a un sistema que no és equivalent a l'anterior per la relació d'equivalència abans descrita fa que s'introdueixi una nova relació, que admeti també la pre-multiplicació de l'equació d'estats. A partir d'aquestes relacions d'equivalència s'obtenen sengles particions de l'espai de les quaternes de matrius, i, en casos concrets, a partir d'invariants, es pot obtenir formes canòniques (representants de les diferents classes d'equivalència). L'estudi de pertorbacions s'efectua a partir de deformacions miniversals, seguint les tècniques geomètriques introduïdes per V.I. Arnold, en el cas de les matrius quadrades, i generalitzades per A. Tannenbaum al cas d'una varietat diferenciable qualsevol sobre la que actua un grup de Lie. El fet de que en el cas d'ambdues relacions d'equivalència aquestes puguin ser descrites d'aquesta forma, essent les classes d'equivalència també varietats diferenciables, fa que aquestes tècniques puguin ser aplicades en aquest cas. Més concretament, es descriuen les deformacions miniversals en el cas de les dues relacions d'equivalència considerades, explícitament en els casos en els què s'ha obtingut formes canòniques, i s'aplica a l'obtenció de les codimensions de les òrbites. També es car